Bashkësitë e fundme dhe pafundme

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Kuptimi i tyre Përcaktimi Relacioni i përkatëshmërisë Bashkësia boshe Bashkësitë numerike Nënbashkësistë Mbibashkësitë Nënbashkësia e vërtet Koncepti i bashkësive Barazia e bashkësive Bashkësitë ekuipotente‎ Bashkësitë e fundme dhe pafundme‎ Veprimet me bashkësi Prerja e bashkësive Unioni i bashkësive Diferenca e bashkësive Ligji i De Morganit Diferenca simetrike e bashkësive Ligjet themelore të veprimeve me bashkësi Dyshja e renditur Prodhimi kartezian Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Kuptimi i tyre Pasqyrimet MBI dhe NË‎ Bashkësitë ekuipotente‎ Bashkësitë e fundme dhe pafundme‎ Pasqyrimi invers‎ Shumëzimi i pasqyrimeve Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Bashkësitë ndahen në bashkësi të fundme dhe në ato të pafundme.

Përkufizimi

Bashkësia A është bashkësi e pafundme, nëse ndonjë nënbashkësi e vërtetë e saj A , është ekuipotente me A , pra : nëse A₁ A $\scriptstyle \land$ A₁ ~A , bashkësia A është e pafundme.

Bashkësia A është e fundme, nëse asnjë nënbashkësi e vërtetë e saj A₁ nuk është ekuipotente me A .

Vetit

Për shembull :

Fig. 1.14.

- Bashkësia e numrave natyralë $\scriptstyle \mathbb {N}$ është bashkësi e pafundme, seps: $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$ $\scriptstyle \mathbb {N}$ $\scriptstyle \land$ $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$ ~ $\scriptstyle \mathbb {N}$  ;

- Bashkësia e numrave të plotë $\scriptstyle \mathbb {Z}$ është bashkësi e pafundme, sepse: $\scriptstyle \mathbb {N}$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ $\scriptstyle \land$ $\scriptstyle \mathbb {N}$ ~ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ,

- Bashkësia S e pikave të segmentit ${\overline {\scriptstyle {\text{MN}}}}$ është bashkësi e pafundme, sepse nënbashkësia e vërtetë e saj S , ( S₁ është bashkësia e pikave të segmentit ${\overline {\scriptstyle {\text{MP}}}}$ ( < ${\overline {\scriptstyle {\text{MN}}}}$)) është ekuipotente me S (fig. 1 .14.).

- Bashkësia M e molekulave të ujit në detin Adriatik është bashkësi e fundme, sepse asnjë nënbashkësi e vërtetë e saj nuk është ekuipotente me M .

Numëri kardinal

Bashkësitë e fundme ekuipotente i kanë numër të njëjtë elementesh. Bashkësitë e pafundme ekuipotente i kanë numrat kardinalë të barabartë  : d.m .th. :

A~B $\scriptstyle {\Rightarrow }$ card A = card B. (...36)

P.sh.  : (1) card $\scriptstyle \mathbb {N}$ = card $\scriptstyle \mathbb {Z}$  ; (2) card $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$ = card $\scriptstyle \mathbb {N}$ .

Numri kardinal i bashkësisë së numrave natyralë $\scriptstyle \mathbb {N}$ shënohet card $\scriptstyle \mathbb {N}$ = $\aleph$₀ , ( lexo  : alef zero), ndërsa i bashkësisë së numrave realë $\scriptstyle \mathbb {R}$ shënohet card $\scriptstyle \mathbb {R}$ = c dhe thuhet se bashkësia $\scriptstyle \mathbb {R}$ ka fuqinë e kontinuumit.

Bashkësia e numërueshme

Për shembull, bashkësia e numrave te plotë $\scriptstyle \mathbb {Z}$ dhe bashkësia e numrave racionalë $\scriptstyle \mathbb {Q}$ janë bashkësi të numërueshme (sepse  : $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ~ $\scriptstyle \mathbb {N}$ dhe $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ~ $\scriptstyle \mathbb {N}$ ), ndërkaq bashkësia e numrave realë $\scriptstyle \mathbb {R}$ nuk është bashkësi e numërueshme.

Përkufizimi

Bashkësitë që janë ekuipotente me bashkësinë e numrave natyralë $\scriptstyle \mathbb {N}$ quhen bashkësi të numërueshme.