Relacionet binare dhe vetitë e tyre

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme
Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë

Relacionet

Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi dhe nëngrupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar.

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Përkufizimi i relacionit binar

Në bashkësinë jo të zbrazët A është përkufizuar relacioni binar ρ në qoftë se për çdo dy elemente a, b \scriptstyle \in A është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) aρb ose (2) a\scriptstyle {\bar \rho}b (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) .[1]

Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë A e lidh dy nga dy elemente të A-së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian A2 , pra :

Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e A2 (ρ Inkluzion.PNG A2).

[redaktoni] Vetit

Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : refleksiviteti, simetria dhe transitiviteti .

[redaktoni] Përkufizimi i refleksivitetit

Relacioni binar ρ në A është relacion refleksiv, nëse secili element i A-së është në relacionin ρ me vetvetën[2], pra :

(\scriptstyle{ \forall }a\scriptstyle \inA) aρa. (...21)

Relacioni binar ρ në A është relacion jo refleksiv, nëse

(\scriptstyle{ \exists }a\scriptstyle \inA) a\scriptstyle {\bar \rho}a. (...22)

Për shembull :

  • Relacioni i plotpjesëtueshmërisë ( \vdots ) në bashkësinë \scriptstyle \mathbb{N} është relacion refleksiv, sepse (\scriptstyle{ \forall }n \scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{N}) n \vdots n ;
  • Relacioni i barazisë (\scriptstyle{=}) në bashkësinë \scriptstyle \mathbb{R} është relacion refleksiv, sepse (\scriptstyle{ \forall }x \scriptstyle \in R) x \scriptstyle{=} x ;
  • Relacioni binar është normal (\scriptstyle { \bot }) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion jo refleksiv, sepse (\scriptstyle{ \exists }p \scriptstyle \in D) p \textstyle { \not \perp } p.

[redaktoni] Përkufizimi i simetrisë

Relacioni binar ρ në A është relacion simetrik, nëse nga raporti a ρ b rrjedh b ρ a[3], pra:

(\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \inA) a ρ b\scriptstyle { \Rightarrow } b ρ a (..23)

Relacioni binar ρ në A është asimetrik, nëse

(\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \inA) aρb\scriptstyle \landbρa\scriptstyle { \Rightarrow } a\scriptstyle{=}b. (...24)

Për shembull:

  • Relacioni i paralelshmërisë ( \scriptstyle { \| } ) në bashkësinë e planeve S është relacion simetrik, sepse
(\scriptstyle{ \forall }α, β\scriptstyle \inS) α \scriptstyle { \| } β \scriptstyle { \Rightarrow } β \scriptstyle { \| } α
  • Relacioni i thjeshtësisë relative të dy numrave në \scriptstyle \mathbb{N} është relacion simetrik, sepse
(\scriptstyle{ \forall }m,n\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{N}) (m,n)\scriptstyle{=}1\scriptstyle { \Rightarrow } (n,m)\scriptstyle{=}1 ;
  • Relacioni binar nuk është më i madh (Mavogëlbarabart.PNG) në \scriptstyle \mathbb{R} është antisimetrik, sepse
(x, y\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{R}) xMavogëlbarabart.PNGy\scriptstyle \landyMavogëlbarabart.PNGx\scriptstyle { \Rightarrow } x\scriptstyle{=}y .

[redaktoni] Përkufizimi i transitivitetit

Relacioni binar ρ në A është relacion transitiv, nëse nga raportet aρb, bρc rrjedh aρc[4] , pra:

(\scriptstyle{ \forall }a, b, c \scriptstyle \inA) aρb \scriptstyle \land bρc \scriptstyle{=} aρc. (...5)

Relacioni binai ρ në A është relacion intransitiv, nëse

(\scriptstyle{ \exists }a, b, c\scriptstyle \inA) a ρ b\scriptstyle \landb ρ c\scriptstyle {\not \Rightarrow } a ρ c. (...6)

Për shembull :

  • Relacioni i ngjashmërisë (~) në bashkësinë e figurave gjeometrike F është relacion transitiv, sepse
\scriptstyle{ \forall }(F1 , F2 , F3\scriptstyle \in F) F1~F2\scriptstyle \landF2~ F3\scriptstyle{=} F1 ~ F3 ;
  • Relacioni binar është më i madh (>) në R, është relacion transitiv, sepse
(\scriptstyle{ \forall }x,y,z\scriptstyle \inR) x>y\scriptstyle \landy>Z\scriptstyle { \Rightarrow } x>z ;
  • Relacioni binar është normal (\scriptstyle { \bot }) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion intransitiv, sepse
(\scriptstyle{ \forall }p, q, r \scriptstyle \in D) p\scriptstyle { \bot }q\scriptstyle \landq\scriptstyle { \bot }r \scriptstyle {\not \Rightarrow } p\scriptstyle { \bot }r.
  1. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  4. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Relacionet_binare_dhe_vetit%C3%AB_e_tyre"