Nëngrupi

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare

Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha

Le të jetë $\circ$ grup.

[redaktoni] Përkufizimi

Nënbashkësia jo e zbrazët $A 1$ bashkësisë $A$ quhet nëngrup i grupit $\circ$ në qoftë se A₁ është grup lidhur me veprimin e përkufizuar $\circ$ në $A$ dhe shënohet $\circ$ .^[1]

[redaktoni] Nëngrupet triviale dhe jotriviale

Secili grup $\circ$ përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin $\circ$ dhe nëngrupin $\circ$ , ku $e$ është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit $\circ$ . Nëse grupi $\circ$ përmban edhe nëngrupe tjera $\scriptstyle{=}$ , ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit $\circ$ dhe shënohen $\circ$ .

Që të jetë $\circ$ duhet të plotësohen këto tri kushte:

(b₁) $A 1 A e A 1$ , ku $e$ është element neutral;

(b₂) $\scriptstyle{ \forall }$ dhe;

(b₃) $\scriptstyle{ \forall }$ i tilllë që $\circ$ .

Saktësia e këtij pohimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimet 6.1. dhe 6.3.

Për shembull:

(1) $\circ$ , ku $\scriptstyle{=}$ , meqë plotësohen kushtet $(b 1) - (b 3)$ ;

(2) $\scriptstyle \mathbb{Z}$ , sepse

(b₁) $\scriptstyle \mathbb{Z}$ ;

(b₂) $\scriptstyle{ \forall }$ , dhe

(b₃) $\scriptstyle{ \forall }$ ; i tillë që $\scriptstyle{=}$ ;

(3) $\scriptstyle \mathbb{R}$ , ku $\scriptstyle{=}$ ,

sepse:

(b₁) $A \.{0}, 1 A;$

(b₂) $\scriptstyle{ \forall }$ ,

dhe

(b₃) $\scriptstyle{ \forall }$ , i tillë

që $\scriptstyle{=}$ .

S h e m b u l l i 22 - Të tregohet se bashkësi $\scriptstyle{=}$ ku:

$\scriptstyle{=}$ , $\scriptstyle{=}$ , $\scriptstyle{=}$ ,

në lidhje me shumëzimin e pasqyrimeve $\circ$ është grup $\circ$ . Të caktohen të gjitha nëngrupet jotriviale të grupit $\circ$ .

Z g j i d h j e : Formojmë tabelën e shumëzimit të pasqyrimeve:

$\circ$		$p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6$

$p 1$		$p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6$
$p 2$		$p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 1$
$p 3$		$p 3 p 4 p 5 p 6 p 1 p 2$
$p 4$		$p 4 p 5 p 6 p 1 p 2 p 3$
$p 5$		$p 5 p 6 p 1 p 2 p 3 p 4$
$p 6$		$p 6 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5$

Nga kjo tabelë shihet se plotësohen të katër aksiomat e grupit, ku $p 1$ është element neutral, kurse për secilin element të bashkësisë $A$ ekziston elementi invers në lidhje me veprimin $\circ$ :

	Elementi	$p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6$

	Elem. i invers	$p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6$

andaj $\circ$ është grup.

Nëngrupet jotriviale të grupit $\circ$ janë: $\circ$ dhe $\circ$ ku: $\scriptstyle{=}$

↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).

[0] Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).

[1]

Nëngrupi

Nga Wikibooks

[redaktoni] Përkufizimi

[redaktoni] Nëngrupet triviale dhe jotriviale

Shikime

Mjete vetjake

Shfleto

Print/export

Kërko

Mjete