Ligji i De Morganit

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme
Shkalla UNI
Gjykimet
Bashkësitë

Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Të vërtetohen relacionet:

(A\scriptstyle { \cup }B)'\scriptstyle{=}A'\scriptstyle { \cap }B' dhe (A\scriptstyle { \cap }B)'\scriptstyle{=}A'\scriptstyle { \cup }B'

që paragesin ligjet e De Morganit.

V ë r t e t i m : Të vërtetojmë relacionin e parë. Vërtetimi bëhet sipas skemës:

(1) vërtetohet se (A\scriptstyle { \cup }B)'Inkluzion.PNGA'\scriptstyle { \cap }B' ;

(2) vërtetohet se A'\scriptstyle { \cap }B'Inkluzion.PNG(A\scriptstyle { \cup }B)' ; dhe

(3) nxirret konkludirni se (A\scriptstyle { \cup }B)'\scriptstyle{=}A'\scriptstyle { \cap }B'.

(1) vërtetimi i inkluzionit (A\scriptstyle { \cup }B)'Inkluzion.PNGA'\scriptstyle { \cap }B'.

Le të supozojmë se x është cilido një element i bashkësisë (A\scriptstyle { \cup }B)', atëherë marrim këto implikacione:

x\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \cup }B)'\scriptstyle { \Rightarrow } x\scriptstyle \not \in A\scriptstyle { \cup }B\scriptstyle { \Rightarrow } x\scriptstyle \not \in A\scriptstyle \landx\scriptstyle \not \in B\scriptstyle { \Rightarrow } x\scriptstyle \inA'\scriptstyle \landx\scriptstyle \inB'\scriptstyle { \Rightarrow } x\scriptstyle \inA'\scriptstyle { \cap }B'.

Meqë, implikacioni x\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \cup }B'\scriptstyle { \Rightarrow } x\scriptstyle \inA'\scriptstyle { \cap }B' vlen për secilin element të bashkësisë (A\scriptstyle { \cup }B)', respektivisht

(\scriptstyle{ \forall }x\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \cup }B)')x\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \cup }B'\scriptstyle { \Rightarrow } x\scriptstyle \inA'\scriptstyle { \cap }B'.

konkludojmë se (A\scriptstyle { \cup }B)'Inkluzion.PNGA'\scriptstyle { \cap }B'.

(2) Vërtetimi i inkluzionit A'\scriptstyle { \cap }B'Inkluzion.PNG(A\scriptstyle { \cup }B)':

Le të supozojmë tani se y është cilido një element i bashkësisë A'\scriptstyle { \cap }B', atëherë kemi këto implikacione:

y\scriptstyle \inA'\scriptstyle { \cap }B'\scriptstyle { \Rightarrow } y\scriptstyle \inA'\scriptstyle \landy\scriptstyle \inB'\scriptstyle { \Rightarrow } y\scriptstyle \not \in A\scriptstyle \landy\scriptstyle \not \in B\scriptstyle { \Rightarrow } y\scriptstyle \not \in A\scriptstyle { \cup }B\scriptstyle { \Rightarrow } y\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \cup }B)'.

Meqë edhe këtu implikacioni y\scriptstyle \inA,\scriptstyle { \cap }B'\scriptstyle { \Rightarrow } y\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \cup }B)' vlen për secilin element të bashkësisë A'\scriptstyle { \cap }B' respektivisht :

(\scriptstyle{ \forall }y\scriptstyle \inA'\scriptstyle { \cap }B') y\scriptstyle \inA'\scriptstyle { \cap }B'\scriptstyle { \Rightarrow } y\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \cup }B)',

konkludojmë se A'\scriptstyle { \cap }B'Inkluzion.PNG(A\scriptstyle { \cup }B)'.

(3) Nga inkluzionet të vërtetuara nën (1) dhe (2) dhe në bazë të përkufizimit 2.1 .3. :

(A\scriptstyle { \cup }B)'Inkluzion.PNGA'\scriptstyle { \cap }B' \displaystyle { \} } \scriptstyle \Leftrightarrow(A\scriptstyle { \cup }B)'\scriptstyle{=}A'\scriptstyle { \cap }B',
A'\scriptstyle { \cap }B'Inkluzion.PNG(A\scriptstyle { \cup }B)'

konkludojmë se është i saktë relacioni që shpreh ligjin e parë të De Morganit. Në mënyrë analoge bëhet vërtetimi i ligjit të dytë [1].

  1. ↑ Vërtetimi i ligjeve të De Morganit shkurtohet nëse në vend të \scriptstyle { \Rightarrow } përdoret \scriptstyle \Leftrightarrow. Provo!
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Ligji_i_De_Morganit"