Ligjet e veprimeve binare

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme
Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet

Veprimet binare

Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Ligjet themelore të veprimeve binare janë ligji komutativ, ligji asociativ dhe ligji distributiv .

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Veprimi komutativ

Në veprimet binare komutative rezultati i veprimit nuk varet prej rendit të elementeve, meqë „ a në veprim \circ me b " dhe „ b në veprim \circ me a " japin elementin e njëjtë c \scriptstyle \in A . Kështu, për shembull, veprime binare komutative janë : mbledhja dhe shumëzimi i numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, mbledhja e vektorëve etj., ndërkaq veprime jokumutative janë: prodhimi kartezian i bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve, prodhimi i matricave, prodhimi vektorial i vektorëve etj.

[redaktoni] Përkufizimi

Veprimi binar \circ në bashkësinë A quhet komutativ, nëse vlen :

( \scriptstyle{ \forall } a, b \scriptstyle \in A) a \circ b \scriptstyle{=} b \circ a .(...46)

[1]

[redaktoni] Veprimi asociativ

Te veprimet binare asociative rezultati i veprimit nuk varet prej mënyrës së vendosjes së kllapave (të cilat përcaktojnë rendin e kryerjes së veprimevet), nëse ruhet rendi i elementeve. Për shembull, veprime asociative janë : mbledhja dhe zbritja e numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve (funksioneve) etj . Veprime joasociative janë : prodhimi kartezian i bashkësive, prodhimi vektorial i vektorëve etj .

[redaktoni] Përkufizimi

Veprimi binar \circ në bashkësinë A është asociativ, nëse vlen:

( \scriptstyle{ \forall } a, h, c \scriptstyle \in A) (a \circ b) \circ c \scriptstyle{=} a \circ (h \circ c) . (...47)

[2]

[redaktoni] Veprimi distributiv

Në bashkësinë \scriptstyle \mathbb{R}, për shembull, shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes: a (b + c) \scriptstyle{=} ab + ac , ndërkaq mbledhja nuk është distributiv ndaj shumëzimit : a + (bc) \scriptstyle { \neq } (a + b) (a + c) . Unioni dhe prerja e bashkësive janë dy veprime reciprokisht distributive ndaj njëri-tjetrit.

[redaktoni] Përkufizimi

Në bashkësinë A janë të përkufizuara dy veprime binare \circ dhe * . Veprimi \circ është distributiv ndaj veprimit * , nëse vlen :

( \scriptstyle{ \forall } a, b, c \scriptstyle \in A) a \circ (b * c) \scriptstyle{=} (a \circ b) * (a \circ c) . (...48)

[3]

[redaktoni] Grupoidi

Për shembull : ( \scriptstyle \mathbb{N} , + ), ( \scriptstyle {\mathbb{N}_{p} } , + ), ( \scriptstyle \mathbb{N} , .), ( \scriptstyle \mathbb{Z} , + ), ( \scriptstyle \mathbb{Z} , .), (A, .) ku A \scriptstyle{=} { -1, l } janë grupoide, ndërkaq: ( \scriptstyle {\mathbb{N}_{c} } , + ), ( \scriptstyle \mathbb{N} , - ), (A, +) ku A \scriptstyle{=} { -1, 1 } nuk janë grupoide.

[redaktoni] Përkufizimi

Bashkësia jo e zbrazët A në të cilën është i përkufizuar veprimi binar o quhet grupoid lidhur me atë veprim dhe shënohet me (A, o) .[4]

[redaktoni] Semigrupi

P.sh. : ( \scriptstyle \mathbb{N} , + ), ( \scriptstyle \mathbb{N} , .), ( \scriptstyle \mathbb{Z} , + ), (A, .) ku A \scriptstyle{=} { - 1, 1 - i, i}, i \scriptstyle{=} \scriptstyle { \sqrt {-1} } janë semigrupe.

[redaktoni] Përkufizimi

Grupoidi (A, o) quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar \circ është asociativ.[5]

[redaktoni] Elementi neutral

Elementi neutral e quhet edhe element njësi. Në bashkësinë \scriptstyle \mathbb{R} elementi neutral për mbledhjen është 0 (zero), ndërkaq për shumëzimin është 1 . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët \scriptstyle { \varnothing } . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik f :x→x \scriptstyle{=} x, \scriptstyle{ \forall } x \scriptstyle \in A . Grupoidi ( \scriptstyle \mathbb{N} , +) nuk ka elementin neutral.

[redaktoni] Përkufizimi

Elementi e \scriptstyle \in A quhet element neutral për veprimin \circ në bashkësinë A, nëse vlen :

\scriptstyle{ \forall } a \scriptstyle \in A a \circ e \scriptstyle{=} e \circ a \scriptstyle{=} a (...49)

[6]

[redaktoni] Teorema

Nëse grupoidi (A, \circ ) përmban elementin neutral, ai është i vetmi.

VërtetimLe të supozojmë të kundërtën - se në (A, \circ ) ekzistojnë dy elemente neutrale e1 , e2 (el \scriptstyle { \neq } e2 ) për veprimin binar \circ . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari e me e1 , a me e2 dhe së dyti e me e2 , a me el përftojmë :

e2 \circ el \scriptstyle{=} el \circ e2 \scriptstyle{=} el dhe el \circ e2 \scriptstyle{=} e2 \circ el \scriptstyle{=} el ,

prej kah rezulton se el \scriptstyle{=} e2 . Pra, konkludojmë se grupoidi (A, \circ ) nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin o .

[redaktoni] Elementi invers

P.sh., në semigrupin ( \scriptstyle \mathbb{Z} , +) me elementin neutral 0 , për cilindo element a \scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{Z} elementi invers është numri i kundërt (-a) \scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{Z} , ndërkaq në semigrupin ( \scriptstyle \mathbb{Z} , .) , përveç elementeve -1 dhe 1 , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin ( \scriptstyle \mathbb{Q} , .) me elementin neutral 1 , për cilindo element a \scriptstyle \in Q , elementi invers është numri reciprok \textstyle \mathrm \frac 1 a\scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{Q} .

[redaktoni] Përkufizimi

Kur semigrupi (A, \circ ) përmban elementin neutral e , elementi b \scriptstyle \in A quhet element invers i elementit a \scriptstyle \in A në lidhje me veprimin \circ , nëse vlen :

a \circ b \scriptstyle{=} b \circ a \scriptstyle{=} e . (...50)

[7]

[redaktoni] Simboli

P.sh.,

        Elementi invers i elementit a rëndom shënohet me a-1 .

[redaktoni] Teorema

Nëse semigrupi (A, \circ ) për elementin a \scriptstyle \in A përmban elementin invers a-1 \scriptstyle \in A , ai është i vetmi.

Vërtetim: Le të supozojmë të kundërtën - se b1 , b2 janë dy elemente inverse të elementit a \scriptstyle \in A . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari b me b1 , së dyti b me b2 përftojmë :

a \circ b1 \scriptstyle{=} b1 \circ a \scriptstyle{=} e dhe a \circ b2 \scriptstyle{=} b2 \circ a \scriptstyle{=} e .

Meqë a \circ b1 \scriptstyle{=} e dhe veprimi \circ është asociativ, kemi:

b2 \circ (a \circ b1 ) \scriptstyle{=} b2 dhe b2 \circ (a \circ b1 ) \scriptstyle{=} (b2 \circ a) \circ b1 \scriptstyle{=} e \circ b1 \scriptstyle{=} b1

d.m.th. se b1 \scriptstyle{=} b2 , çka duhej vërtetuar.

  1. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  4. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  5. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  6. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  7. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Ligjet_e_veprimeve_binare"