Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme
Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare

Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha


       Le të jenë (A, \circ), (B, * ) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A, \circ ) dhe (B, * ) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A, \circ) në grupin (B, * ) , nëse (fig. 1.17.):
(\scriptstyle{ \forall }a, b \scriptstyle \in A) h (a \circ b) \scriptstyle{=} h (a) * h (b) .(...51)
       Kur h (A)\scriptstyle{=}B, h quhet homomorfizëm i grupit (A, \circ) mbi grupin (B, * ) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).
Fig. 1.18. Fig. 1.17.
       Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A, \circ) dhe (B, * ), atëherë kemi:
h (a) \scriptstyle{=} h (a \circ e) \scriptstyle{=} h (a) * h (e) \Big\} h (e) \scriptstyle{=} e',
h (a) \scriptstyle{=} h (e \circ a) \scriptstyle{=} h (e) * h (a)
çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A, \circ) është element neutral i grupit (B, * ).
       T e o r e m a  6.1.1. -  Nëse h1 është homomorfizëm i (A, \circ1) në (B, \circ2) dhe h2 homomorfizëm i (B, \circ2) në (C, \circ3), shumëzimi h2\circ h1 është homomorfizëm i (A, \circ1) në (C, \circ3).
       V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
       
 (1) (\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \inA) h1 (a\circ1 b)
.		 \scriptstyle{=}h1(a)\circ2 h1(b)
\scriptstyle{=}a'\circ2 b', ku a' \scriptstyle{=} h 1 (a), b'\scriptstyle{=}h1 (b);
       
 (2) (\scriptstyle{ \forall }a', b'\scriptstyle \in B) h2 (a'\circ2 b') \scriptstyle{=}h2(a')\circ3 h2 (b')
\scriptstyle{=}h2 [h1(a)] \circ3 h2 [h1 (b)]
\scriptstyle{=}(h2\circ h1) (a) \circ3 (h2 \circ h1) (b).
       Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
       
 (\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \in A) (h2 \circ h1) (a \circ1 b) \scriptstyle{=}h2 [h1 (a \circ1 b)]
\scriptstyle{=}h2 [h1 (a)\circ2 h1 (b)]
\scriptstyle{=}h2 [h1 (a) \circ3 h2 h1 (b)]
\scriptstyle{=} (h2 \circ h 1) (a) \circ3 (h2 \circ h1) (b)
dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
       Homomorfizmi injektiv i grupit (A, \circ) në grupin (B, * ) quhet izomorfizëm i (A, \circ) në (B, * ) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A, \circ) mbi (B, * ) quhet izomorfizëm i (A, \circ) mbi (B, * ) dhe thuhet se grupet (A, \circ) , (B, * ) janë izomorfe ndërmjet tyre.
       Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
Fig. 1.20.
       T e o r e m a  6.1.2. -  Nëse i1 është izomorfizëm i grupit (A, \circ1) mbi grupin (B, \circ2) dhe i2 izomorfizëm i (B, \circ2) mbi (C, \circ3) , shumëzimi i2 \circ i1 është izomorfizëm i grupit (A, \circ1) mbi grupin (C, \circ3) .
       Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
       S h e m b u l l i  23. -  Të shohim grupet (\scriptstyle \mathbb{R}+, .), (\scriptstyle \mathbb{R}, +) dhe h:\scriptstyle \mathbb{R}+→\scriptstyle \mathbb{R} pasqyrimin e \scriptstyle \mathbb{R}+ në \scriptstyle \mathbb{R} që përcaktohet me formulën:
h:x→y\scriptstyle{=} log x, \scriptstyle{ \forall }x\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{R}+ .
       Meqë vlen:
(\scriptstyle{ \forall }x1, x2 \scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{R}+) log (x1 • x2)\scriptstyle{=} log x1 +log x2 ,
themi se (R+,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.

Fig. 1.19.

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Homorfizmi_dhe_izomorfizmi_i_grupit"