Dyshja e renditur dhe prodhimi kartezian i bashkësive

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme
Shkalla UNI
Gjykimet
Bashkësitë

Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Bashkësinë prej dy elementeve a, b mund ta formojmë duke shkruar {a, b} ose {b, a} , sepse rendi i numërimit të elementeve nuk e cilëson bashkësinë, por vetëm përbërja e saj. Prandaj:

(\scriptstyle{ \forall }a, b):{a, b}\scriptstyle{=}{b, a}.

Ndërkaq, (a, b) quhet dyshja e renditur (rregulluar), ku a është elementi i parë, e b i dytë, andaj

(a, b) \scriptstyle { \neq }(b, a), nëse a \scriptstyle { \neq }b.

Relacioni përkufizues i barazisë së dy dysheve të renditura (a, b), (c, d) është :

(a, b)\scriptstyle{=}(c, d) Barazpër.PNG a\scriptstyle{=}c\scriptstyle \landb\scriptstyle{=}d. (...17)

Në mënyrë analoge përkufizohet edhe treshi i renditur (a, b, c).

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Prodhimi kartezian

[redaktoni] Përkufizimi

Prodhimi kartezian [1] i bashkësive A, B quhet bashkësia e dysheve të renditura (a, b) me vetinë a\scriptstyle \inA, b\scriptstyle \inB[2] , pra

[redaktoni] Formulimi i përkufizimit

A\scriptstyle { \times }BBarazpër.PNG {(a, b)\scriptstyle \mida\scriptstyle \inA, b\scriptstyle \inB}. (...18)

[redaktoni] Simboli

[redaktoni] Katrori kartezian

P.sh.: {a, b, c} \scriptstyle { \times } {c, d} \scriptstyle{=} {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d)} . Prodhimi A\scriptstyle { \times }A quhet katrori kartezian (ose katrori i Dekartit) dhe shënohet me A2 , pra :

A2\scriptstyle{=}{(a, b)\scriptstyle \mida, b\scriptstyle \inA}. (...19)

[redaktoni] Paraqitja e grafit

Në paraqitjen e grafit të prodhimit kartezian A\scriptstyle { \times }B në sistemin koordinativ xOy elementet e tij (a, b) trajtohen si pika, ku a quhet abshisa, kurse b ordinata e pikës. Kështu p.sh.:

  • (1) Në sistemin koordinativ xOy pikat e zeza paraqesin grafin e prodhimit kartezian {1, 2, 3} \scriptstyle { \times } {2, 3, 4, 5}  ; ndërsa
  • (2) Në sistemin koordinativ xOy fusha e hijesuar paraqet grafin e prodhimit kartezian të bashkësive A\scriptstyle{=}{x\scriptstyle \mida<x<b} dhe B\scriptstyle{=}{y\scriptstyle \midc<y<d}.

[redaktoni] Prodhimi kartezian i n-bashkësive

Prodhimi kartezian i tri bashkësive A, B, C përkufizohet me këtë relacion :

A \scriptstyle { \times } B \scriptstyle { \times } C Barazpër.PNG {(a, b, c)\scriptstyle \mida \scriptstyle \in A, b\scriptstyle \inB, c\scriptstyle \inC}. (...20)

[redaktoni] Formulimi

A1\scriptstyle { \times }A1\scriptstyle { \times }A3\scriptstyle { \times } . . . \scriptstyle { \times }An\scriptstyle{=} \prod_{i=1}^n Ak.

[redaktoni] Simboli

Prodhimi kartezian i n bashkësive A1, A2 , A3 , . . . , An shënohet me simnbolin \prod_{i=1}^n Ak (lexo : pi Ak , k prej 1 deri në n).

[redaktoni] Vetitë

[redaktoni] Ligji distributiv ndaj unionit

Të vërtetohet relacioni

A \scriptstyle { \times } (B\scriptstyle { \cup }C)\scriptstyle{=}(A\scriptstyle { \times }B)\scriptstyle { \cup }(A\scriptstyle { \times }C)

që shpreh ligjin distributiv të prodhimit kartezian ndaj unionit.

       V ë r t e t i m : Skema e vërtetimit:
  • (1) Vërtetohet se A\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C)Inkluzion.PNG(A\scriptstyle { \times }B)\scriptstyle { \cup }(A\scriptstyle { \times }C),
  • (2) Vërtetohet se (A\scriptstyle { \times }B)\scriptstyle { \cup }(A\scriptstyle { \times }C)Inkluzion.PNGA\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C) ; dhe
  • (3) Nxirret konkluzioni se A\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C)\scriptstyle{=}(A\scriptstyle { \times }B)\scriptstyle { \cup }(A\scriptstyle { \times }C).

Le të supozojmë se (a, b) është cilido element i bashkësisë A \scriptstyle { \times } (B\scriptstyle { \cup }C), nga marrim këto ekuivalenca:

(a, b)\scriptstyle \inA\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C)
 \scriptstyle \Leftrightarrow (a\scriptstyle \inA, b\scriptstyle \inB\scriptstyle { \cup }C)
\scriptstyle \Leftrightarrow {a\scriptstyle \inA, b\scriptstyle \inB \scriptstyle \lor b\scriptstyle \inC)
\scriptstyle \Leftrightarrow (a\scriptstyle \inA, b\scriptstyle \inB) \scriptstyle \lor (a\scriptstyle \inA, b\scriptstyle \inC)
\scriptstyle \Leftrightarrow (a, b)\scriptstyle \inA\scriptstyle { \times }B \scriptstyle \lor (a, b)\scriptstyle \inA\scriptstyle { \times }C
\scriptstyle \Leftrightarrow (a, b)\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \times }B)\scriptstyle { \cup }(A\scriptstyle { \times }C).

Meqë ekuivalenca

(a, b)\scriptstyle \inA\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C)\scriptstyle \Leftrightarrow(a, b)\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \times }B)\scriptstyle { \cup }(A\scriptstyle { \times }C)

vlen për secilën dyshe të renditur të bashkësisë A\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C), pra :

(\scriptstyle{ \forall }(a, b)\scriptstyle \inA\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C)) (a, b)\scriptstyle \inA\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C}\scriptstyle \Leftrightarrow(a, b)\scriptstyle \in(A\scriptstyle { \times }B)\scriptstyle { \cup }(A\scriptstyle { \times }C)

konkludojmë se janë të sakta inkluzionet (1) dhe (2). Nga këto inkluzione, e në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim se

A\scriptstyle { \times }(B\scriptstyle { \cup }C)\scriptstyle{=}(A\scriptstyle { \times }B)\scriptstyle { \cup }(A\scriptstyle { \times }C),

çka duhej të vërtetohej .

  1. ↑ 12) Prodhimi kartezian quhet edhe prodhim i kombinuar ose prodhim i Dekartit, sipas emrit të matematikanit të shquar francez Rene Descartes (1596-1650).
  2. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Dyshja_e_renditur_dhe_prodhimi_kartezian_i_bashk%C3%ABsive"